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第三百四十一章 庞加莱猜想(拓扑学)

庞加莱想平面之间的等价性还是很容易的。

一个皮球,是一个面组成了,可以平展成一个面的形状。

这是让一个二维的面从三维空间中转化成立二维空间。

如果是四维空间的皮球,是否能够平展成二维空间的平面?

一般人粗略的一想,还以为可以。

但是庞加莱敏锐的洞察到,四维空间中的皮球,不是一个二维的面。

或许是个三维的体,搞不好就是三维空间的实心球体。

这个想法突破了一般人的认知,但在数学是是轻松可以推论的。

只是这需要去证明才行。

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拓扑”跟“群”一样也是一种对结构的描述,但是它不再专注于结构的外观、尺度,而只关心结构的性质,即不再进行定量研究转而进行定性研究,这是数学发展史上又一次伟大的突破。

比如我们可以把一个瘪了的球、一个正方体、一个十二面体都认为具有同样的拓扑,因为这些结构在三维空间中都是封闭的,它们都可以通过连续变换变成一个球。你可以想象这些物体都是橡皮做的,只要充满气,就能把它们涨成完美的球形,在拓扑学中我们说这些结构与球是同胚的。具有同胚拓扑结构的空间几何体在遵循“不撕裂不扯破”的原则下能够任意相互变换。所谓“不撕裂不扯破”就是不破坏构成结构体的各点之间的关系,比如A点和B点是相邻的,在变换之后A点与B点仍然是相邻的。有一种结构,无论你用同样的方式怎么努力,也不能变成球形,那就是轮胎。这是因为轮胎与球具有不同的拓扑结构,球是单联通的,而轮胎是双联通的。

欧拉公式揭示了拓扑性质与对称性之间的联系,在单联通多面体结构,只能产生5种完美对称,我们真实的宇宙一样具有某些拓扑性质,这些拓扑性质也同样对对称性有约束,因此才形成了我们所见的宇宙。

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