初等函数的积分在何条件下仍为初等函数，也是他着重讨论的问题。
刘维尔涉足科学领域之际，由阿阿尔和C．雅可比(Jacobi)所建立的椭圆函数理论正处于蓬勃发展时期。
1844年12月，刘维尔在给巴黎科学院的一封信中说明了如何从雅可比的定理(单变量单值亚纯函数的周期个数不多于2，周期之比为非实数)出发，建立双周期椭圆函数的一套完整理论体系。
两位德国数学家C．W．博尔夏特(Bor－chardt)和F．约赫姆塔尔(Joachimsthal)向刘维尔详细请教了他的工作情况。
C．W．博尔夏特对刘维尔说：“听说，你最近在研究椭圆函数理论？”
刘维尔说：“肯定的，这是未来的大趋势。”
C．W．博尔夏特说：“一个椭圆函数，如何跟二维周期函数成为一回事的呢？”
F．约赫姆塔尔说：“我觉得这样的理论不靠谱。”
C．W．博尔夏特说：“心里觉得奇怪，我们虽然经历了这样的构造过程，但是还是觉得不可思议。难道数学以后就是要这样研究的吗？”
刘维尔说：“你们不仅仅要适应，还要把这种连续不断的变化变成常态才能更好的研究。”
C．W．博尔夏特说：“等一下，让我们再缕缕。是椭圆函数在复空间内，有一种圆环的形状。”