求解多项式方程是代数学中的重要问题。
求解同余多项式也是数论中的重要问题，当最高次项是任意数时，就变得尤为困难了。
然后从17世纪到18世纪，费马、欧拉、拉格朗日和勒让德等数论学家对二次剩余理论作了初步的研究，证明了一些定理并作出了一些相关的猜想，但首先对二次剩余进行有系统的研究的数学家是高斯。他在着作《算术研究》中首次引入了术语“二次剩余”与“二次非剩余”。
X^2=q(mod p)，这里p和q都是素数，（p/q）(q/p)=(-1)^(p-1)/2(q-1)/2成立。
就是一个数的平方除以一个数得到的余数这样的问题。
后来应用到噪音工程学、密码学和大数分解上。
而想要了解二次剩余，就需要用二次互反律，二次互反也是经典数论中的定理之一。
在数论中，特别是在同余理论里，二次互反律是一个用于判别二次剩余，即二次同余方程之整数解的存在性的定律。
高斯给了7个二次互反的证明，后来的之后雅可比、柯西、刘维尔、克罗内克、弗洛贝尼乌斯等也相继给出了新的证明。
至今，二次互反律已有超过200个不同的的证明。
二次互反律被称为“数论之酿母”，在数论中处于极高的地位。后来希尔伯特、塞尔等数学家将它推广到更一般的情形。
后来数学家从二次互反律的证明里，得到了数学中同余的互反。
而同余思想跟有限域是有关系的，那么数学家发现有限域也有互反。
有限域跟模形式有关系，那么数学家发现模形式也有互反。
而模形式与艾森斯坦级数有关系，那么数学家发现级数有互反，级数往往用狄利克雷级数来表示。
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