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第一百八十二章 裴蜀定理(数论)

在数论中,裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理,裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。

裴蜀定理说明了对任何整数 a、b和它们的最大公约数 d ,关于未知数 x以及 y 的线性的丢番图方程(称为裴蜀等式)。

在数论中,裴蜀定理是一个关于最大公约数(或最大公约式)的定理。裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀,说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d,关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为裴蜀等式):

ax + by = m

有解当且仅当m是d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解,每组解x、y都称为裴蜀数,可用辗转相除法求得。

例如,12和42的最大公因子是6,则方程12x + 42y = 6有解。事实上有(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 +(-1)×42 = 6。

特别来说,方程 ax + by = 1 有解当且仅当整数a和b互素。

裴蜀等式也可以用来给最大公约数定义:d其实就是最小的可以写成ax + by形式的正整数。这个定义的本质是整环中“理想”的概念。因此对于多项式整环也有相应的裴蜀定理。

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