正如大家所想，矛盾的源头就是， 9 个点不见得能唯一地确定出三次曲线的方程，因为不是每个点的位置都能给我们带来足够的信息。
Euler 试图向人们解释这样一件事情：曲线上的 9 个点虽然给出了 9 个不同的方程，但有时它们并不能唯一地解出那 9 个未知数，因为有些方程是废的。
在没有线性代数的年代，解释这件事情并不容易。
Euler 举了一个最简单的例子：方程组
3x ? 2y = 5
4y = 6x ? 10
表面上存在唯一解，但事实上两个方程的本质相同——第一个方程乘以 2 再移项后就直接变成第二个方程了。
换句话说，后一个方程并没有给我们带来新的信息，有它没它都一样。
当然，这只是一个最为简单的例子。
在当时，真正让人大开眼界的则是 Euler 文中给出的三元一次方程组：
2x ? 3y + 5z = 8
3x ? 5y + 7z = 9
x ? y + 3z = 7
这个方程组也没有唯一解，原因就很隐蔽了：后两个方程之和其实是第一个方程的两倍，换句话说第一个方程本来就能由另外两个方程推出来。
因此，整个方程组本质上只有两个不同的方程，它们不足以确定出三个未知数来。
Euler 还给出了一个四元一次方程组的例子，向人们展示了更加复杂的情况。
类似地， 9 个九元一次方程当然也会因为出现重复信息而不存在唯一解，不过具体情况几乎无法预料：很可能方程(1)就是方程(2)和方程(5)的差的多少多少倍，也有可能方程(7)和(9)的差恰是前三个方程的和。
究竟什么叫做一个方程“提供了新的信息”，用什么来衡量一个方程组里的信息量，怎样的方程组才会有唯一解？
Euler 承认，“要想给出一个一般情况下的公式是很困难的”。
此时大家或许能体会到， Euler 提出的这些遗留问题太具启发性了，当时的数学研究者们看到之后必然是浑身血液沸腾。
包括 Cramer 在内的数学家们沿着 Euler 的思路继续想下去，一个强大的数学新工具——线性代数——逐渐开始成型。
没错，这个 Cramer 正是后来提出线性代数一大基本定理—— Cramer 法则——的那个人。
喜欢数学心请大家收藏：数学心本站更新速度全网最快。